どうも、わりと四角四面な一面も持っているジョンです
直方体の体積を求める『縦×横×高さ』
これは小学校で教わる算数の知識で、三つの辺の長さから体積を求める公式です。
例えば、次のような図形の場合……
計算式は「10×４×２＝80」で、体積は80㎤になります。
……で
だいぶ前ですが、こんな話を耳にしました。
この図形問題で「４×２×10＝80」と書いた生徒が減点されたらしい。
理由は……「縦×横×高さの順に式を書いていないから」
どういうことやねん
確かに算数（数学）のテストってのは“解き方”も込みで答えになりますよ。
問題を理解しているか？知識を活かせているか？
そういった部分も見ているんで、途中の計算式が間違っていたら減点されるし、式を省いて答えだけを書いていたら不正解にされることだってあります。
でも今回のようなケースは、チョット違うんじゃないかと……。
だって、これ……直方体ですからね。
直方体の計算に順番は関係ない
図形の分類で見ると、直方体は四角柱という柱体の一つになります。
柱体とは「基準となる平面図形（底面）」が垂直に平行移動して作られた立体のこと。
図のように底面が垂直に平行移動した際、その通過した部分にあたる立体がそれです。
このとき底面の形によって図形の種類も異なります。
円は円柱、三角形なら三角柱。
四角形だと四角柱です。（四角形なら菱形でも台形でも四角柱）
更に四角柱の中でも、底面が長方形や正方形になっているものは直方体になります。（立方体も直方体の一つ）
……と
このように柱体は底面を基準に形成されているんで、体積を求めるときも底面を基準に計算します。
その公式が『底面積×高さ』
まず底面積を計算し、それに高さを掛ける。
仮にイメージするなら、こんな感じですかね。
「面（底面積）が積み重なっている分だけ立体（体積）になる」みたいな。
……で
この考え方で見ると、直方体の公式は「縦×横」の部分で底面積を計算し、それに高さを掛けていることになります。
となると、やはり手順として「縦×横（底面積）×高さ」の順に計算するべきなんでしょうか？
ところがギッチョンチョン
実は直方体って……どの面を底面と見ても構わないんですよ。
先ほどの柱体の定義で考えて、どの面を基準にしても同じ図形が生まれますからね。
逆に言えば、全ての面が底面になるわけです。
だから体積を求める際も、どの底面を基準に計算したって問題ありません。
高さ×横の面だろうが、高さ×縦の面だろうが。
底面に対して垂直な辺を“高さ”と見るなら、どの面を基準にしても『底面積×高さ』という求め方になります。
だから計算式がどういった並びであっても、体積の“求め方”として間違いじゃないんです。
もちろん公式で順番が決まっているなら、それに従うべきだとは思いますよ。
でも残念ながら……公式の『縦×横×高さ』は定型じゃないんですよね～。
「一つの頂点（角）から三方に伸びる三つの辺」
これを図形と照らし合わせて位置関係を分かり易くするため、敢えてそういう表現を使っているだけの話。
だから他に「幅×高さ×奥行き」と書かれていることがあったり、数学の参考書などでは「一辺×一辺×一辺」なんて書いていたりもします。
このように直方体は体積の求め方に決まった順番も無く、そもそも『縦×横×高さ』という公式さえも便宜上そう表現しているだけに過ぎません。
にもかかわらず「直方体は縦×横×高さの順で計算しなくてはいけない」なんて理由で減点されてしまうのはねぇ……。
直方体はトリプルキャスト
ところで今回の「縦×横×高さじゃないから減点された件」ですが……。
実は、減点に対する反対意見として次のようなものもあります。
「掛け算は順番が入れ替わっても答えが変わらないから、縦×横×高さの順じゃなくても間違いじゃない」
まあ掛け算はそういうもんですし、答えが同じなら問題なさそうに思えます。
でも何か違う気がするんですよね～。
だって他の公式に当てはめて考えたら、何か変な感じになっちゃいますから……。
例えば、円柱の体積を求める公式『半径×半径×円周率×高さ』
これは順番を入れ替えても答えが変わりません。
ただ、この式は「半径×半径×円周率」の部分で底面積を求めています。
もし順番を入れ替えたら、これが無くなっちゃうわけですよ。
「半径×高さ×半径×円周率」みたいな感じに。
それってどうなんですかね？
計算式って決まった並びにあるから意味があると思うんです。
問題の解き方や答えの求め方に基づいて並べていくことが、計算式として然るべき形なんじゃないかと。
円柱の公式も底面積の部分を並び替えるくらいならアリかもしれませんが……。（円周率を一番目に持ってくるとか）
「体積の求め方」として成立しない並びになったら、もはや正しい計算式とは言えないでしょう。
掛け算云々ってのも考え方としては一理ありますが、公式って“本来の意味”を違えてまで順番を入れ替えるもんじゃないと思います。
……ていうか
直方体の体積を求める計算式って、本当に“入れ替わって”いるんですかね？
先ほども言ったように、直方体はどの面を底面と見ても構わない特殊な図形です。
だから数字の並びを変えても必ず『底面積×高さ』という体積の求め方になります。
これって“縦・横・高さ”が実際に入れ替わっているんでしょうか？
私には……単に数字の“役割”が変わっただけに思えますよ。
例えば、円柱の体積を求める場合。
半径は底面積を計算するためにしか使えませんし、高さは「底面が垂直に移動した長さ」としてしか使えません。
これを入れ替えて考えるなんてのは物理的に無理です。
でも直方体の体積を求める場合は、一つの辺の役割が状況に応じて変わります。
どの底面を基準にするか？
求め方の“向き”によって底面積を計算するための一辺にもなれば「底面が垂直に移動した長さ」にもなるわけです。
例えるなら「三人で三役のトリプルキャストを演じている」みたいな感じ。
A役 底面積の計算「一辺×一辺」の下手側
B役 底面積の計算「一辺×一辺」の上手側
C役 底面が垂直に伸びた長さを表す、通称“高さ”
でもって「その日の公演によって組み合わせが違う」みたいな。
つまり、直方体の体積を求める公式には……
「並びの違う組み合わせ」が複数あるんですよ。
どの向きの底面を基準にするかで３通り。（対になった面は同じものとする）
底面積の計算「一辺×一辺」が前後して２通り。
単純に数えても全部で“６通り”の公式があったことになります。
直方体の体積を求める計算式は、べつに順番が入れ替わったわけじゃありません。
最初から公式が６通り用意されていただけの話だったんです。
……さて
いかがだったでしょうか？
それにしても「順番を入れ替えた」という先入観は話をややこしくしますよね～。
「入れ替えるのは是か非か？」という疑問は、結局のところ本質から離れていたわけですし。
もしかしたら「掛け算の性質」なんて考えに至ったりするのも、そのせいかもしれません。
やはり立体は“多角的”に捉えたほうが良さそうです。
それではまた、別の話でお会いしましょう
コメント